\(\int \frac {(e x)^m (A+B x^n) (c+d x^n)}{(a+b x^n)^2} \, dx\) [6]

Optimal result

Integrand size = 29, antiderivative size = 177 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=-\frac {d (A b (1+m)-a B (1+m+n)) (e x)^{1+m}}{a b^2 e (1+m) n}+\frac {(A b-a B) (e x)^{1+m} \left (c+d x^n\right )}{a b e n \left (a+b x^n\right )}+\frac {(b c (a B (1+m)-A b (1+m-n))+a d (A b (1+m)-a B (1+m+n))) (e x)^{1+m} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {b x^n}{a}\right )}{a^2 b^2 e (1+m) n} \]

[Out]

-d*(A*b*(1+m)-a*B*(1+m+n))*(e*x)^(1+m)/a/b^2/e/(1+m)/n+(A*b-B*a)*(e*x)^(1+m)*(c+d*x^n)/a/b/e/n/(a+b*x^n)+(b*c*
(a*B*(1+m)-A*b*(1+m-n))+a*d*(A*b*(1+m)-a*B*(1+m+n)))*(e*x)^(1+m)*hypergeom([1, (1+m)/n],[(1+m+n)/n],-b*x^n/a)/
a^2/b^2/e/(1+m)/n

Rubi [A] (verified)

Time = 0.17 (sec) , antiderivative size = 177, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.103, Rules used = {608, 470, 371} \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\frac {(e x)^{m+1} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {m+1}{n},\frac {m+n+1}{n},-\frac {b x^n}{a}\right ) (b c (a B (m+1)-A b (m-n+1))+a d (A b (m+1)-a B (m+n+1)))}{a^2 b^2 e (m+1) n}-\frac {d (e x)^{m+1} (A b (m+1)-a B (m+n+1))}{a b^2 e (m+1) n}+\frac {(e x)^{m+1} (A b-a B) \left (c+d x^n\right )}{a b e n \left (a+b x^n\right )} \]

[In]

Int[((e*x)^m*(A + B*x^n)*(c + d*x^n))/(a + b*x^n)^2,x]

[Out]

-((d*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + n))*(e*x)^(1 + m))/(a*b^2*e*(1 + m)*n)) + ((A*b - a*B)*(e*x)^(1 + m)*(c + d*x
^n))/(a*b*e*n*(a + b*x^n)) + ((b*c*(a*B*(1 + m) - A*b*(1 + m - n)) + a*d*(A*b*(1 + m) - a*B*(1 + m + n)))*(e*x
)^(1 + m)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)])/(a^2*b^2*e*(1 + m)*n)

Rule 371

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hyperg
eometric2F1[-p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, (-b)*(x^n/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[d*(e*x)^(m +
1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(b*e*(m + n*(p + 1) + 1))), x] - Dist[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(b*(m +
n*(p + 1) + 1)), Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[m + n*(p + 1) + 1, 0]

Rule 608

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)),
x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f))*(g*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^q/(a*b*g*n*(p + 1))), x] + Dis
t[1/(a*b*n*(p + 1)), Int[(g*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1)*Simp[c*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(
m + 1)) + d*(b*e*n*(p + 1) + (b*e - a*f)*(m + n*q + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, n},
x] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 0] &&  !(EqQ[q, 1] && SimplerQ[b*c - a*d, b*e - a*f])

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {(A b-a B) (e x)^{1+m} \left (c+d x^n\right )}{a b e n \left (a+b x^n\right )}-\frac {\int \frac {(e x)^m \left (-c (a B (1+m)-A b (1+m-n))+d (A b (1+m)-a B (1+m+n)) x^n\right )}{a+b x^n} \, dx}{a b n} \\ & = -\frac {d (A b (1+m)-a B (1+m+n)) (e x)^{1+m}}{a b^2 e (1+m) n}+\frac {(A b-a B) (e x)^{1+m} \left (c+d x^n\right )}{a b e n \left (a+b x^n\right )}+\frac {(b c (a B (1+m)-A b (1+m-n))+a d (A b (1+m)-a B (1+m+n))) \int \frac {(e x)^m}{a+b x^n} \, dx}{a b^2 n} \\ & = -\frac {d (A b (1+m)-a B (1+m+n)) (e x)^{1+m}}{a b^2 e (1+m) n}+\frac {(A b-a B) (e x)^{1+m} \left (c+d x^n\right )}{a b e n \left (a+b x^n\right )}+\frac {(b c (a B (1+m)-A b (1+m-n))+a d (A b (1+m)-a B (1+m+n))) (e x)^{1+m} \, _2F_1\left (1,\frac {1+m}{n};\frac {1+m+n}{n};-\frac {b x^n}{a}\right )}{a^2 b^2 e (1+m) n} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.25 (sec) , antiderivative size = 110, normalized size of antiderivative = 0.62 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\frac {x (e x)^m \left (a^2 B d+a (b B c+A b d-2 a B d) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {b x^n}{a}\right )+(A b-a B) (b c-a d) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (2,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {b x^n}{a}\right )\right )}{a^2 b^2 (1+m)} \]

[In]

Integrate[((e*x)^m*(A + B*x^n)*(c + d*x^n))/(a + b*x^n)^2,x]

[Out]

(x*(e*x)^m*(a^2*B*d + a*(b*B*c + A*b*d - 2*a*B*d)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)]
+ (A*b - a*B)*(b*c - a*d)*Hypergeometric2F1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((b*x^n)/a)]))/(a^2*b^2*(1 + m))

Maple [F]

\[\int \frac {\left (e x \right )^{m} \left (A +B \,x^{n}\right ) \left (c +d \,x^{n}\right )}{\left (a +b \,x^{n}\right )^{2}}d x\]

[In]

int((e*x)^m*(A+B*x^n)*(c+d*x^n)/(a+b*x^n)^2,x)

[Out]

int((e*x)^m*(A+B*x^n)*(c+d*x^n)/(a+b*x^n)^2,x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} {\left (d x^{n} + c\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (b x^{n} + a\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)*(c+d*x^n)/(a+b*x^n)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*d*x^(2*n) + A*c + (B*c + A*d)*x^n)*(e*x)^m/(b^2*x^(2*n) + 2*a*b*x^n + a^2), x)

Sympy [C] (verification not implemented)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 26.10 (sec) , antiderivative size = 5176, normalized size of antiderivative = 29.24 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((e*x)**m*(A+B*x**n)*(c+d*x**n)/(a+b*x**n)**2,x)

[Out]

A*c*(-a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*m**2*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/
n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m
/n - 2 - 1/n)*e**m*m*n*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*ga
mma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*m*n*x**(m +
1)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - 2*a*a**(m/n + 1/n)*a**
(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*m*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*g
amma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*n*x**(m +
1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**
n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*n*x**(m + 1)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamm
a(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - a*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*x**(m + 1)*le
rchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gam
ma(m/n + 1 + 1/n)) - a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*b*e**m*m**2*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(
I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a**
(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*b*e**m*m*n*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*ga
mma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - 2*a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n -
2 - 1/n)*b*e**m*m*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*ga
mma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*b*e**m*n*x**n*x**(
m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3
*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - a**(m/n + 1/n)*a**(-m/n - 2 - 1/n)*b*e**m*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_po
lar(I*pi)/a, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)))
+ A*d*(-a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m**2*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1
, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a*a**
(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/
n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + a*a**(-m/n - 3 - 1/
n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*
gamma(m/n + 2 + 1/n)) - 2*a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_p
olar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2
+ 1/n)) + a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n**2*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma
(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n*x**(m +
n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n)
+ b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n*x**(m + n + 1)*gamma(m/n
+ 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n +
1 + 1/n)*e**m*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**
3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*m**
2*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(
m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*m*n*x**n*x*
*(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 +
1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - 2*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*m*x**n*x**(m + n +
1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b
*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*n*x**n*x**(m + n + 1)*lerchph
i(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*
gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_
polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2
+ 1/n))) + B*c*(-a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m**2*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(
I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n
)) - a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/
n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + a*a**(-m/
n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*
n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - 2*a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*
x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamm
a(m/n + 2 + 1/n)) + a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n**2*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*
n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*
n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n +
2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + a*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n*x**(m + n + 1)
*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a*a**(-m/n - 3 - 1/n)
*a**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1
/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*
b*e**m*m**2*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n
**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*m
*n*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma
(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - 2*a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*m*x**n*x
**(m + n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2
+ 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*n*x**n*x**(m + n +
1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*
n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - a**(-m/n - 3 - 1/n)*a**(m/n + 1 + 1/n)*b*e**m*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(b
*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + b*n**3*x**n*gam
ma(m/n + 2 + 1/n))) + B*d*(-a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*m**2*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**
n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m
/n + 3 + 1/n)) - 3*a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_pola
r(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1
/n)) + a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + 2*n + 1)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m
/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 2*a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*m*x**(m +
2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n
) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 2*a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*n**2*x**(m + 2*n + 1)*
lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**
3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + 2*a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*n**2*x**(m + 2*n + 1)*gamma(m/n
+ 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 3*a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n
+ 2 + 1/n)*e**m*n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/
(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) + a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e*
*m*n*x**(m + 2*n + 1)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) -
a*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*e**m*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 +
1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - a**(-m/n - 4 - 1
/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*b*e**m*m**2*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*
gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 3*a**(-m/n - 4 - 1/n)*
a**(m/n + 2 + 1/n)*b*e**m*m*n*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma
(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 2*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m
/n + 2 + 1/n)*b*e**m*m*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n +
2 + 1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 2*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2
+ 1/n)*b*e**m*n**2*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 +
1/n)/(a*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - 3*a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/
n)*b*e**m*n*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a
*n**3*gamma(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)) - a**(-m/n - 4 - 1/n)*a**(m/n + 2 + 1/n)*b*e**m
*x**n*x**(m + 2*n + 1)*lerchphi(b*x**n*exp_polar(I*pi)/a, 1, m/n + 2 + 1/n)*gamma(m/n + 2 + 1/n)/(a*n**3*gamma
(m/n + 3 + 1/n) + b*n**3*x**n*gamma(m/n + 3 + 1/n)))

Maxima [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} {\left (d x^{n} + c\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (b x^{n} + a\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)*(c+d*x^n)/(a+b*x^n)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-((b^2*c*e^m*(m - n + 1) - a*b*d*e^m*(m + 1))*A + (a^2*d*e^m*(m + n + 1) - a*b*c*e^m*(m + 1))*B)*integrate(x^m
/(a*b^3*n*x^n + a^2*b^2*n), x) + (B*a*b*d*e^m*n*x*e^(m*log(x) + n*log(x)) + ((b^2*c*e^m*(m + 1) - a*b*d*e^m*(m
+ 1))*A + (a^2*d*e^m*(m + n + 1) - a*b*c*e^m*(m + 1))*B)*x*x^m)/((m*n + n)*a*b^3*x^n + (m*n + n)*a^2*b^2)

Giac [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} {\left (d x^{n} + c\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (b x^{n} + a\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)*(c+d*x^n)/(a+b*x^n)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*x^n + A)*(d*x^n + c)*(e*x)^m/(b*x^n + a)^2, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right ) \left (c+d x^n\right )}{\left (a+b x^n\right )^2} \, dx=\int \frac {{\left (e\,x\right )}^m\,\left (A+B\,x^n\right )\,\left (c+d\,x^n\right )}{{\left (a+b\,x^n\right )}^2} \,d x \]

[In]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n)*(c + d*x^n))/(a + b*x^n)^2,x)

[Out]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n)*(c + d*x^n))/(a + b*x^n)^2, x)